유클리드 공간

1 개요

Euclidean space

유클리드 공간

• 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것
• 유클리드의 평행선의 공리와 피타고라스의 정리가 성립하는 n차원 공간
• 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여, 임의 차원의 공간으로 확장한 것
• 표준적인 유한차원, 실수, 내적 공간
• 민코프스키 공간에 대비됨

 

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• (n차원 유클리드 공간) 순서를 가지는 n개의 실수의 쌍([math]\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots,x_n }[/math])을 점이라 하며, 두 점 ([math]\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots,x_n }[/math]), ([math]\displaystyle{ y_1,y_2,\cdots,y_n }[/math]) 간의 거리를

[math]\displaystyle{ \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} }[/math]으로 정의한 공간

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• (n차원 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math]) 자연수 [math]\displaystyle{ n=0,1,2,\dots }[/math]에 대해 실수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]번 곱집합
• 내적 [math]\displaystyle{ \langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^nu_iv_i }[/math]를 정의하면 실수 힐베르트 공간, 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.
• 자명한 좌표근방계를 주어 미분 가능 다양체, 리만 다양체로 만들 수 있다.

리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치한다.

2 같이 보기

• 공간
• 유클리드
• 유클리드 거리
• 힐베르트 공간
• 민코프스키 공간

3 참고

• http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space
• http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1132857&cid=40942&categoryId=32223